Black-Scholes Modeli

Black-Scholes Modeli Nedir?

Black-Scholes-Merton (BSM) modeli olarak da bilinen Black-Scholes modeli, bir opsiyon sözleşmesini fiyatlandırmak için matematiksel bir modeldir. Model, özellikle finansal araçların zaman içindeki değişimini tahmin eder.

Black Scholes Modelini Anlamak

Black-Scholes modeli, modern finans teorisindeki en önemli kavramlardan biridir. 1973’te Fischer Black, Robert Merton ve Myron Scholes tarafından geliştirildi ve bugün hala yaygın olarak kullanılmaktadır. Opsiyonların adil fiyatını belirlemenin en iyi yollarından biri olarak kabul edilir. Black-Scholes modeli beş girdi değişkeni gerektirir: bir opsiyonun kullanım fiyatı, cari hisse senedi fiyatı, sona erme süresi, risksiz oran ve oynaklık.

Black-Scholes-Merton (BSM) olarak da adlandırılan bu model, opsiyon fiyatlandırmasında yaygın olarak kullanılan ilk modeldi. Mevcut hisse senedi fiyatları, beklenen temettüler, opsiyon kullanım fiyatı, beklenen faiz oranları, sona erme süresi ve beklenen oynaklığı kullanarak opsiyonların teorik değerini hesaplamak için kullanılır.

İlk denklem,Journal of Political Economy’de yayınlanan Black and Scholes’in 1973 tarihli “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” adlı makalesinde tanıtıldı . Black, Scholes ve Merton’un türevlerin değerini belirlemek için yeni bir yöntem bulma çalışmaları nedeniyle 1997 Nobel Ekonomi Ödülü’nü almasından iki yıl önce vefat etti.(Nobel Ödülü ölümünden sonra verilmez; ancak, Nobel komitesi Black-Scholes modelinde Siyah’ın rolünü kabul etti.)

Black-Scholes, hisse senetleri veya vadeli işlem sözleşmeleri gibi araçların, sürekli kayma ve dalgalanma ile rastgele bir yürüyüşün ardından lognormal bir fiyat dağılımına sahip olacağını öne sürüyor. Bu varsayımı ve diğer önemli değişkenlerde faktoringi kullanarak, denklem Avrupa tarzı bir alım opsiyonunun fiyatını türetir.

Black-Scholes denklemi için girdi teşkil volatilite, fiyatı  dayanak varlığın,  grev fiyat  seçeneği, seçeneğin süresi doluncaya kadar zamanı ve risksiz  faiz oranı. Bu değişkenlerle opsiyon satıcılarının sattıkları opsiyonlar için rasyonel fiyatlar belirlemeleri teorik olarak mümkündür.

Dahası, model, yoğun şekilde işlem gören varlıkların fiyatının, sabit kayma ve oynaklıkla geometrik bir Brown hareketini takip ettiğini öngörür. Bir hisse senedi opsiyonuna uygulandığında, model hisse senedinin sabit fiyat değişimini, paranın zaman değerini, opsiyonun kullanım fiyatını ve opsiyonun sona erme süresini içerir.

Black-Scholes Varsayımları

Black-Scholes modeli bazı varsayımlarda bulunur:

• Seçenektir Avrupa ve sadece edilebilir icra bitiminde.
• Opsiyonun süresi boyunca temettü ödenmez.
• Piyasalar etkilidir (yani, piyasa hareketleri tahmin edilemez).
• Opsiyon satın alırken herhangi bir işlem maliyeti yoktur.
• Risksiz oran ve altta yatan bir volatilite bilinen ve sürekli edilir.
• Dayanak varlığın getirileri günlük normal olarak dağıtılır.

Orijinal Black-Scholes modeli, opsiyonun süresi boyunca ödenen temettülerin etkilerini dikkate almazken, model genellikle  temel hissenin temettüsüz tarih değerini belirleyerek temettüleri hesaba katacak şekilde uyarlanır . Model ayrıca, vade bitiminden önce kullanılabilecek opsiyonların etkisini hesaba katmak için birçok opsiyon satan piyasa yapıcısı tarafından modifiye edilmiştir. Alternatif olarak, firmaların kullanacağı terimli model veya Bjerksund-Stensland  daha çok işlem gören fiyatlandırılması modeli Amerikan tarzı seçenekleri.

Black-Scholes Formülü

Formülde yer alan matematik karmaşıktır ve göz korkutucu olabilir. Neyse ki, Black-Scholes modellemesini kendi stratejilerinizde kullanmak için matematiği bilmenize ve hatta anlamanıza gerek yok. Opsiyon tüccarları çeşitli çevrimiçi opsiyon hesaplayıcılarına erişebilir ve günümüz ticaret platformlarının çoğu, hesaplamaları gerçekleştiren ve opsiyon fiyatlandırma değerlerini veren göstergeler ve elektronik tablolar dahil olmak üzere güçlü opsiyon analiz araçlarına sahiptir.

Black-Scholes çağrı opsiyonu formülü, hisse senedi fiyatı kümülatif standart normal olasılık dağılımı fonksiyonu ile çarpılarak hesaplanır. Bundan sonra, kullanım fiyatının kümülatif standart normal dağılımla çarpılan net bugünkü değeri (NPV), önceki hesaplamanın sonuç değerinden çıkarılır.

Matematiksel gösterimde:

Oynaklık Çarpıklığı

Black-Scholes, hisse senedi fiyatlarının lognormal bir dağılım izlediğini varsayar çünkü varlık fiyatları negatif olamaz (sıfır ile sınırlandırılmıştır). Bu aynı zamanda Gauss  dağılımı olarak da bilinir .

Genellikle, varlık fiyatlarının önemli derecede doğru  çarpıklığa  ve bir dereceye kadar  basıklığa (yağ kuyrukları) sahip olduğu görülmektedir. Bu, piyasada yüksek riskli aşağı doğru hareketlerin normal bir dağıtımın öngördüğünden daha sık gerçekleştiği anlamına gelir.

Lognormal dayanak varlık fiyatları varsayımı, zımni oynaklıkların Black-Scholes modeline göre her işlem fiyatı için benzer olduğunu göstermelidir. Bununla birlikte, 1987’deki piyasa çöküşünden bu yana, paranın karşılığı opsiyonlar için ima edilen oynaklıklar, paranın çok dışında veya paranın çok uzağında olanlardan daha düşüktü. Bu fenomenin nedeni, piyasanın piyasalarda yüksek volatilitenin aşağı yönlü hareket etme olasılığının daha yüksek olduğu fiyatlandırmasıdır.

Bu, volatilite çarpıklığının varlığına yol açtı. Aynı son kullanma tarihine sahip opsiyonlar için ima edilen oynaklıklar   bir grafik üzerinde haritalandığında, bir gülümseme veya çarpıklık şekli görülebilir. Bu nedenle, Black-Scholes modeli zımni oynaklığın hesaplanmasında etkili değildir.

Black-Scholes Modelinin Sınırlamaları

Daha önce belirtildiği gibi, Black-Scholes modeli yalnızca Avrupa opsiyonlarını fiyatlandırmak için kullanılır ve ABD opsiyonlarının sona erme tarihinden önce kullanılabileceğini hesaba katmaz. Dahası, model temettüleri varsayar ve risksiz oranlar sabittir, ancak bu gerçekte doğru olmayabilir. Model ayrıca volatilite kalıntıları sabit varsayar arz ve talep seviyesi ile volatilite dalgalanmalar nedeniyle böyle değildir seçeneğin hayatı, bitti.

Ek olarak, diğer varsayımlar – işlem maliyeti veya vergi olmadığı; risksiz faiz oranının tüm vadeler için sabit olması; gelir kullanımıyla menkul kıymetlerin açığa satışına izin verildiği; ve risksiz arbitraj fırsatlarının olmaması, bu faktörlerin mevcut olduğu gerçek dünyadan farklı fiyatlara yol açabilir.

Sıkça Sorulan Sorular