Karelerin Toplamı

Karelerin Toplamı Nedir?

Karelerin toplamı, veri noktalarının dağılımını belirlemek için regresyon analizinde kullanılan istatistiksel bir tekniktir. Bir regresyon analizinde amaç, bir veri serisinin, veri serisinin nasıl üretildiğini açıklamaya yardımcı olabilecek bir işleve ne kadar iyi uydurulabileceğini belirlemektir. Karelerin toplamı, verilerden en iyi uyan (en az değişen) işlevi bulmanın matematiksel bir yolu olarak kullanılır.

Karelerin Toplamının Formülü

Karelerin toplamı, varyasyon olarak da bilinir.

Karelerin Toplamı Size Ne Anlatıyor?

Karelerin toplamı, ortalamadan sapmanın bir ölçüsüdür. İstatistikte ortalama, bir dizi sayının ortalamasıdır ve en yaygın kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür. Aritmetik ortalama, basitçe veri setindeki değerlerin toplanması ve değerlerin sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Diyelim ki Microsoft’un (MSFT) son beş gün içindeki kapanış fiyatları ABD doları olarak 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 ve 73,40 oldu. Toplam fiyatların toplamı 369.73 $ ‘dır ve bu nedenle ders kitabının ortalama veya ortalama fiyatı 369.73 $ / 5 = 73.95 $ olacaktır.

Ancak bir ölçüm setinin ortalamasını bilmek her zaman yeterli değildir. Bazen, bir dizi ölçümde ne kadar varyasyon olduğunu bilmek yararlıdır. Bireysel değerlerin ortalamadan ne kadar uzak olduğu, gözlemlerin veya değerlerin oluşturulan regresyon modeline ne kadar uygun olduğuna dair bir fikir verebilir.

Örneğin, bir analist MSFT’nin hisse fiyatının Apple’ın fiyatı (AAPL) ile birlikte hareket edip etmediğini bilmek isterse, her iki hisse senedinin belirli bir süre için gözlemler kümesini listeleyebilir, mesela 1, 2 veya 10 yıl ve kaydedilen her gözlem veya ölçümle doğrusal bir model oluşturun. Her iki değişken arasındaki ilişki (yani, AAPL’nin fiyatı ve MSFT’nin fiyatı) düz bir çizgi değilse, o zaman veri setinde incelenmesi gereken varyasyonlar vardır.

İstatistiklerde, oluşturulan doğrusal modeldeki çizgi tüm değer ölçümlerinden geçmiyorsa, hisse fiyatlarında gözlemlenen bazı değişkenlikler açıklanamaz. Karelerin toplamı, iki değişken arasında doğrusal bir ilişki olup olmadığını hesaplamak için kullanılır ve açıklanamayan herhangi bir değişkenlik, artık karelerin toplamı olarak adlandırılır.

Karelerin toplamı, varyasyonun karelerinin toplamıdır; burada varyasyon, her bir değer ile ortalama arasındaki yayılma olarak tanımlanır. Karelerin toplamını belirlemek için, her veri noktası ile en uygun çizgi arasındaki mesafenin karesi alınır ve sonra toplanır. En uygun çizgi bu değeri en aza indirecektir.

Kareler Toplamı Nasıl Hesaplanır?

Şimdi ölçüme neden kare sapmaların toplamı veya kısaca kareler toplamı denildiğini anlayabilirsiniz. Yukarıdaki MSFT örneğimizi kullanarak, karelerin toplamı şu şekilde hesaplanabilir:

• SS = (74.01 – 73.95) 2 + (74.77 – 73.95) 2 + (73.94 – 73.95) 2 + (73.61 – 73.95) 2 + (73.40 – 73.95) 2
• SS = (0,06) 2 + (0,82) 2 + (-0,01) 2 + (-0,34) 2 + ( -0,55 ) 2
• SS = 1.0942

Negatif sapmalar, pozitif sapmaları neredeyse mükemmel bir şekilde telafi edeceğinden, sapmaların toplamının karesini alma olmadan tek başına toplanması, sıfıra eşit veya sıfıra yakın bir sayı ile sonuçlanacaktır. Daha gerçekçi bir sayı elde etmek için sapmaların toplamının karesi alınmalıdır. Pozitif veya negatif olsun, herhangi bir sayının karesi her zaman pozitif olduğundan, karelerin toplamı her zaman pozitif bir sayı olacaktır.

Karelerin Toplamının Nasıl Kullanılacağına İlişkin Örnek

MSFT hesaplamasının sonuçlarına göre, karelerin yüksek bir toplamı, değerlerin çoğunun ortalamadan daha uzak olduğunu ve dolayısıyla verilerde büyük değişkenlik olduğunu gösterir. Düşük bir kareler toplamı, gözlemler kümesindeki düşük değişkenliği ifade eder.

Yukarıdaki örnekte, 1.0942, MSFT’nin hisse senedi fiyatındaki son beş gündeki değişkenliğin çok düşük olduğunu ve fiyat istikrarı ve düşük volatilite ile karakterize edilen hisse senetlerine yatırım yapmak isteyen yatırımcıların MSFT’yi tercih edebileceğini gösteriyor.

Karelerin Toplamını Kullanmanın Sınırlamaları

Hangi hisse senedinin satın alınacağına dair bir yatırım kararı vermek, burada listelenenlerden çok daha fazla gözlem gerektirir. Bir analistin, bir varlığın değişkenliğinin ne kadar yüksek veya düşük olduğunu daha yüksek bir kesinlikle bilmek için yıllarca verilerle çalışması gerekebilir. Kümeye daha fazla veri noktası eklendikçe, değerler daha fazla yayılacağından karelerin toplamı artar.

En yaygın kullanılan varyasyon ölçümleri standart sapma ve varyanstır. Ancak, iki ölçümden birini hesaplamak için önce karelerin toplamının hesaplanması gerekir. Varyans, kareler toplamının ortalamasıdır (yani, kareler toplamının gözlem sayısına bölümü). Standart sapma, varyansın kareköküdür.

Karelerin toplamını kullanan iki regresyon analizi yöntemi vardır: doğrusal en küçük kareler yöntemi ve doğrusal olmayan en küçük kareler yöntemi. En küçük kareler yöntemi, regresyon fonksiyonunun gerçek veri noktalarından varyans karelerinin toplamını en aza indirdiğini ifade eder. Bu şekilde, istatistiksel olarak verilere en iyi uyumu sağlayan bir fonksiyon çizmek mümkündür. Bir regresyon fonksiyonunun doğrusal (düz bir çizgi) veya doğrusal olmayan (eğri bir çizgi) olabileceğini unutmayın.