Ortak Stok Olasılık Dağıtım Yöntemlerini Kullanma
Çizim Olasılık Dağılımı
Piyasaların öngörülebilirliği veya verimliliği hakkındaki görüşünüz ne olursa olsun, muhtemelen çoğu varlık için garantili getirilerin belirsiz veya riskli olduğu konusunda hemfikir olacaksınız. Olasılık dağılımlarının altında yatan matematiği göz ardı edersek, bunların belirli bir belirsizlik görüşünü tanımlayan resimler olduğunu görebiliriz. Olasılık dağılımı, belirli bir değişkenin bir çizim tablosundaki belirli bir aralık arasında veya içinde olma olasılığını açıklayan istatistiksel bir hesaplamadır.
Belirsizlik rastgeleliği ifade eder. Öngörülebilirlik eksikliğinden veya pazar verimsizliğinden farklıdır. Yeni ortaya çıkan bir araştırma görüşü, finansal piyasaların hem belirsiz hem de öngörülebilir olduğunu savunuyor. Ayrıca, piyasalar verimli olabilir ancak belirsiz de olabilir.
Finansta, varlık getirisinin rastgele bir değişken olarak kabul edilebileceğini düşündüğümüzde, varlık getirisinin duyarlılığına ilişkin görüşümüzü gösteren resimler çizmek için olasılık dağılımlarını kullanırız. Bu makalede, en popüler olasılık dağılımlarından birkaçına değinecek ve bunları nasıl hesaplayacağınızı göstereceğiz.
Dağılımlar, ayrık veya sürekli olarak ve bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) veya kümülatif dağılım olup olmadığına göre kategorize edilebilir.
Kesikli ve Sürekli Dağılımlar
Ayrık, sınırlı bir olası sonuç kümesinden elde edilen rastgele bir değişkeni ifade eder. Örneğin, altı kenarlı bir kalıbın altı farklı sonucu vardır. Sürekli dağılım, sonsuz bir kümeden alınan rastgele bir değişkeni ifade eder. Sürekli rastgele değişkenlerin örnekleri arasında hız, mesafe ve bazı varlık getirileri bulunur. Kesikli bir rastgele değişken tipik olarak noktalar veya çizgilerle gösterilirken, sürekli bir değişken düz bir çizgiyle gösterilir. Aşağıdaki şekil, ortalama (beklenen değer) 50 ve standart sapma 10 olan normal bir dağılım için ayrık ve sürekli dağılımları göstermektedir :
Dağılım, belirsizliği grafik haline getirme girişimidir. Bu durumda, 50 sonuç en olasıdır, ancak zamanın yalnızca yaklaşık% 4’ünde gerçekleşecektir; 40 değerinde bir sonuç, ortalamanın bir standart sapmasıdır ve zamanın sadece% 2,5’inin altında gerçekleşecektir.
Olasılık Yoğunluğu – Kümülatif Dağılım
Diğer ayrım, olasılık yoğunluk işlevi (PDF) ile kümülatif dağılım işlevi arasındadır. PDF, rastgele değişkenimizin belirli bir değere (veya sürekli bir değişken olması durumunda, bir aralık arasına düşme) ulaşma olasılığıdır. Rastgele bir X değişkeninin gerçek bir x değerine eşit olma olasılığını belirterek gösteriyoruz :
Kümülatif dağılım, rastgele değişken X’in gerçek değer x’ten küçük veya ona eşit olma olasılığıdır :
P
P[x<=X]
veya örneğin, boyunuz beklenen değeri 5’10 “inç (ebeveyninizin ortalama boyu) olan rastgele bir değişkense, o zaman PDF sorusu” 5’4 yüksekliğe ulaşma olasılığınız nedir “olur? ” Karşılık gelen kümülatif dağılım işlevi sorusu, “5’4’ten daha kısa olma olasılığınız nedir?”
Yukarıdaki şekil iki normal dağılım gösterdi. Artık bunların olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) grafikleri olduğunu görebilirsiniz. Kümülatif dağılımla aynı dağılımı yeniden çizersek, aşağıdakileri elde ederiz:
Kümülatif dağılım, sonunda y ekseninde% 1,0 veya% 100’e ulaşmalıdır. Çıtayı yeterince yükseltirsek, bir noktada neredeyse tüm sonuçlar bu çubuğun altına düşecektir (dağılımın tipik olarak 1.0’a asimptotik olduğunu söyleyebiliriz).
Bir sosyal bilim olan finans, fizik bilimleri kadar temiz değildir. Örneğin yerçekimi, zaman zaman güvenebileceğimiz zarif bir formüle sahiptir. Öte yandan, finansal varlık getirileri bu kadar tutarlı bir şekilde kopyalanamaz. Doğru dağılımları (yani fizik bilimlerinden türetilmiş gibi) finansal getirileri tasvir etmeye çalışan dağınık, güvenilmez tahminlerle karıştıran zeki insanlar tarafından yıllar içinde şaşırtıcı miktarda para kaybedildi. Finansta, olasılık dağılımları kaba resimli temsillerden biraz daha fazlasıdır.
Üniforma dağıtımı
En basit ve en popüler dağıtım, tüm sonuçların meydana gelme şansının eşit olduğu tek tip dağıtımdır. Altı kenarlı bir kalıbın düzgün bir dağılımı vardır. Her sonucun yaklaşık% 16.67 (1/6) olasılığı vardır. Aşağıdaki grafiğimiz düz çizgiyi göstermektedir (böylece daha iyi görebilirsiniz), ancak bunun ayrı bir dağıtım olduğunu unutmayın – 2.5 veya 2.11’i döndüremezsiniz:
Şimdi, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi iki zarı birlikte yuvarlayın ve dağılım artık tekdüze değildir. Yedide zirveye çıkıyor ve% 16.67 şansı var. Bu durumda, diğer tüm sonuçların olasılığı daha düşüktür:
Şimdi, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi üç zarı birlikte yuvarlayın. Çok şaşırtıcı bir teoremin etkilerini görmeye başladık: merkezi limit teoremi. Merkezi limit teoremi cesurca, bir dizi bağımsız değişkenin toplamının veya ortalamasının, kendi dağılımlarına bakılmaksızın, normal olarak dağılma eğiliminde olacağını vaat ediyor. Zarlarımız bireysel olarak tekdüzedir, ancak onları birleştirir ve – daha fazla zar ekledikçe – neredeyse sihirli bir şekilde toplamları alışılmış normal dağılıma doğru yönelecektir.
Binom dağılımı
Binom dağılımı böyle sikke fırlatır dizisi olarak “ya / ya da” denemeler, bir dizi yansıtmaktadır. Bunlara Bernoulli denemeleri denir – sadece iki sonucu olan olaylara atıfta bulunur – ancak (50/50) oranlara bile ihtiyacınız yoktur. Aşağıdaki iki terimli dağılım, yazı olasılığının% 50 olduğu (p-0.5) 10 yazı tura atma serisini çizer. Aşağıdaki şekilde tam olarak beş tura ve beş tura atma şansının (sıra önemli değil) sadece% 25 oranında utangaç olduğunu görebilirsiniz:
Binom dağılımı size normal görünüyorsa, bu konuda haklısınız. Deneme sayısı arttıkça, binom normal dağılıma doğru eğilim gösterir.
Lognormal Dağılım
Lognormal dağılımı en popüler modellerinin birçok hisse senedi fiyatları lognormally dağıldığını varsayalım çünkü finans oldukça önemlidir. Varlık getirilerini fiyat seviyeleri ile karıştırmak kolaydır.
Varlık getirileri genellikle normal kabul edilir – bir hisse senedi% 10 artabilir veya% 10 düşebilir. Fiyat seviyeleri genellikle normal olarak değerlendirilir – 10 dolarlık bir hisse senedi 30 dolara kadar çıkabilir, ancak 10 dolara düşemez. Lognormal dağılım sıfır değildir ve sağa doğru eğiktir (yine, bir hisse senedi sıfırın altına düşemez ancak teorik üst sınırı yoktur):
Poisson
Poisson dağılımı belirli bir olay oranları tarif etmek için kullanılır (örneğin, bir gün portföy % 5’in altında kaybı) bir zaman aralığı içinde meydana gelen. Bu nedenle, aşağıdaki örnekte, bazı operasyonel süreçlerin% 3 hata oranına sahip olduğunu varsayıyoruz. Ayrıca 100 rastgele deneme varsayıyoruz; Poisson dağılımı, tek bir gün gibi belirli bir süre içinde belirli sayıda hata alma olasılığını tanımlar.
Öğrencinin T
Öğrencinin T dağılımı da çok popülerdir çünkü normal dağılıma göre biraz daha şişman bir kuyruğa sahiptir. Öğrencinin T’si tipik olarak örneklem büyüklüğümüz küçük olduğunda (yani 30’dan az) kullanılır. Finansta, sol kuyruk kayıpları temsil eder. Bu nedenle, örneklem boyutu küçükse, büyük bir kayıp olasılığını küçümsemeye cesaret ederiz. Öğrencinin T’sindeki daha kalın kuyruk burada bize yardım edecek. Öyle olsa bile, bu dağılımın yağ kuyruğu genellikle yeterince şişman değildir. Finansal getiriler, nadir görülen felaket durumlarında, gerçekten yağ kuyruğu kayıpları gösterme eğilimindedir (yani, dağılımlar tarafından tahmin edilenden daha şişman). Bu noktaya gelince büyük miktarlarda para kaybedildi.
Beta Dağıtımı
Son olarak, beta dağılımı ( sermaye varlığı fiyatlandırma modelindeki beta parametresi ile karıştırılmamalıdır ), tahvil portföylerindeki geri kazanım oranlarını tahmin eden modellerde popülerdir. Beta dağıtımı, dağıtımların yardımcı oyuncusudur. Normalde olduğu gibi, yalnızca iki parametreye (alfa ve beta) ihtiyaç duyar, ancak dikkate değer esneklik için birleştirilebilirler. Dört olası beta dağılımı aşağıda gösterilmektedir:
Alt çizgi
İstatistiksel ayakkabı dolabımızdaki pek çok ayakkabı gibi, duruma en uygun olanı seçmeye çalışıyoruz, ancak havanın bizim için ne getireceğini gerçekten bilmiyoruz. Normal bir dağılım seçip, sol kuyruk kayıplarının hafife alındığını bulabiliriz; bu nedenle, yalnızca sonraki dönemde verilerin daha “normal” göründüğünü bulmak için çarpık bir dağılıma geçiyoruz. Altındaki zarif matematik, sizi bu dağılımların daha derin bir gerçeği ortaya çıkardığını düşünmeye sevk edebilir, ancak bunların yalnızca insan eserleri olması daha olasıdır. Örneğin, incelediğimiz tüm dağılımlar oldukça pürüzsüz, ancak bazı varlık getirileri süreksiz bir şekilde sıçradı.
Normal dağılım her yerde hazır ve zariftir ve sadece iki parametre gerektirir (ortalama ve dağılım). Diğer birçok dağılım normale yakınsar (örneğin, iki terimli ve Poisson). Ancak, riskten korunma fonu getirileri, kredi portföyleri ve ciddi zarar olayları gibi birçok durum normal dağıtımları hak etmiyor.