Bayes Teoremi Tanımı
Bayes Teoremi Nedir?
18. yüzyıl İngiliz matematikçisi Thomas Bayes’in adını taşıyan Bayes teoremi, koşullu olasılığın belirlenmesi için matematiksel bir formüldür. Koşullu olasılık, daha önce meydana gelen bir sonuca bağlı olarak bir sonucun ortaya çıkma olasılığıdır. Bayes teoremi, yeni veya ek kanıtlar verildiğinde mevcut tahminleri veya teorileri revize etmenin (olasılıkları güncelleme) bir yolunu sağlar. Finansta, Bayes teoremi, potansiyel borçlulara borç para verme riskini oranlamak için kullanılabilir.
Bayes teoremine Bayes Kuralı veya Bayes Yasası da denir ve Bayes istatistikleri alanının temelidir.
Temel Çıkarımlar
- Bayes teoremi, yeni bilgiler ekleyerek bir olayın tahmin edilen olasılıklarını güncellemenizi sağlar.
- Bayes teoremi, 18. yüzyıl matematikçisi Thomas Bayes’in adını almıştır.
- Risk değerlendirmesinin güncellenmesinde genellikle finans alanında kullanılır.
Bayes Teoremini Anlamak
Teoremin uygulamaları yaygındır ve finansal alanla sınırlı değildir. Örnek olarak, Bayes teoremi, herhangi bir kişinin bir hastalığa sahip olma olasılığı ve testin genel doğruluğu dikkate alınarak tıbbi test sonuçlarının doğruluğunu belirlemek için kullanılabilir. Bayes teoremi, arka olasılıklar oluşturmak için önceki olasılık dağılımlarını birleştirmeye dayanır. Bayesci istatistiksel çıkarımda önceki olasılık, yeni veriler toplanmadan önce bir olayın olasılığıdır. Bu, bir deney yapılmadan önce mevcut bilgilere dayalı olarak bir sonucun olasılığının en iyi rasyonel değerlendirmesidir. Posterior olasılık, yeni bilgiler dikkate alınarak meydana gelen bir olayın revize edilmiş olasılığıdır. Arka olasılık, Bayes teoremi kullanılarak önceki olasılığın güncellenmesiyle hesaplanır. İstatistiksel terimlerle ifade etmek gerekirse, son olasılık, B olayının meydana gelmesi durumunda A olayının meydana gelme olasılığıdır.
Bayes teoremi bu nedenle o olayla ilgili olan veya olayla ilgili olabilecek yeni bilgilere dayalı bir olayın olasılığını verir. Formül aynı zamanda bir olayın meydana gelme olasılığının varsayımsal yeni bilgilerden nasıl etkilendiğini görmek için de kullanılabilir, yeni bilginin doğru çıkacağını varsayarsak. Örneğin, 52 kartlık bir desteden tek bir kart çekildiğini varsayalım. Kartın şah olma olasılığı dörde bölünmüş 52’dir, bu da 1/13 veya yaklaşık% 7.69’a eşittir. Güvertede dört kral olduğunu unutmayın. Şimdi, seçilen kartın bir yüz kartı olduğu ortaya çıktığını varsayalım. Bir destede 12 yüzlü kart olduğu için seçilen kartın bir papaz olma olasılığı, bir yüz kartı olduğu için dörde 12’ye veya yaklaşık% 33,3’e bölünür.
Bayes Teoremi Formülü
Bayes Teoremine Örnekler
Aşağıda, ilk örneğin Amazon.com Inc. ( AMZN ) kullanılarak bir hisse senedi yatırım örneğinde formülün nasıl türetilebileceğini gösteren iki Bayes teoremi örneği verilmiştir. İkinci örnek, Bayes teoremini farmasötik ilaç testine uygular.
Bayes Teorem Formülünün Türetilmesi
Bayes teoremi basitçe koşullu olasılık aksiyomlarını izler. Koşullu olasılık, başka bir olayın meydana gelmesi durumunda bir olayın olasılığıdır. Örneğin, basit bir olasılık sorusu şu soruyu sorabilir: “Amazon.com’un hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?” Koşullu olasılık sorarak bir adım daha ileri bu soruyu alır: “AMZN hisse senedi fiyatı olasılığı düşen nedir göz önüne alındığında Dow Jones Sanayi Endeksi? (DJIA) endeksi önceki düştü”
B’nin gerçekleşmiş olması durumunda A’nın koşullu olasılığı şu şekilde ifade edilebilir:
A: “AMZN fiyatı düşer” ise, P (AMZN), AMZN’nin düşme olasılığıdır; ve B: “DJIA zaten kapalı” ve P (DJIA), DJIA’nın düşme olasılığıdır; daha sonra koşullu olasılık ifadesi “DJIA düşüşü verildiğinde AMZN’nin düşme olasılığı, AMZN fiyatının düşme ve DJIA’nın DJIA endeksindeki düşüş olasılığı üzerinden düşüş olasılığına eşittir.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN ve DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN ve DJIA), hem A hem de B’nin oluşma olasılığıdır. Bu aynı zamanda, A’nın oluşma olasılığının, A’nın meydana gelmesi durumunda B’nin oluşma olasılığı ile çarpılmasıyla aynıdır ve P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) olarak ifade edilir. Bu iki ifadenin eşit olması, Bayes teoremine götürür ve şu şekilde yazılır:
eğer, P (AMZN ve DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
sonra, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
P (AMZN) ve P (DJIA), Amazon ve Dow Jones’un birbirlerine bakılmaksızın düşme olasılıklarıdır.
Formül, Amazon için Dow’da verilen bir hipotez verildiğinde, P (AMZN) kanıtını görmeden önce hipotez olasılığı ile P kanıtını (AMZN | DJIA) aldıktan sonra hipotez olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklar.
Bayes Teoreminin Sayısal Örneği
Sayısal bir örnek olarak,% 98 oranında doğru olan bir uyuşturucu testi olduğunu hayal edin, yani bu testin% 98’i ilacı kullanan biri için gerçek bir pozitif sonuç gösterdiğini ve% 98’inin de kullanmayanlar için gerçek bir negatif sonuç gösterdiğini düşünün. uyuşturucu madde. Ardından, insanların% 0,5’inin ilacı kullandığını varsayalım. Rastgele seçilen bir kişi ilaç için pozitif sonuç verirse, kişinin gerçekten ilacı kullanıp kullanmadığını görmek için aşağıdaki hesaplama yapılabilir.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) =% 19,76
Bayes teoremi, bir kişi bu senaryoda pozitif test edilse bile, aslında kişinin ilacı kullanmama ihtimalinin çok daha yüksek olduğunu göstermektedir.